Załamanie i dyspersja

Załamanie to spowolnienie

Wyobraź sobie samochód wjeżdżający ukośnie z asfaltu na piach. Koło, które pierwsze dotknie piachu, zwalnia wcześniej niż drugie — i cały samochód skręca w stronę piachu. Nie dlatego, że coś go pchnęło w bok, tylko dlatego, że jego dwie strony przez chwilę jechały z różną prędkością.

Ze światłem jest dokładnie tak samo. Czoło fali padające ukośnie na szkło wchodzi w nie jednym brzegiem wcześniej niż drugim. Brzeg, który już jest w szkle, zwalnia; brzeg jeszcze w powietrzu — nie. Czoło fali obraca się, a razem z nim obraca się prostopadły do niego promień. Załamanie nie jest osobnym zjawiskiem; jest skutkiem tego, że światło ma w szkle inną prędkość.

Miarą tego spowolnienia jest współczynnik załamania — liczba mówiąca, ile razy wolniej światło biegnie w danym materiale niż w próżni:

Kierunek, w którym promień skręci, opisuje prawo Snella. Jest to ta sama zależność, którą w poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy z zasady Fermata jako drogę najszybszą, a nie najkrótszą:

Przesuń suwak i sprawdź dwie rzeczy. Po pierwsze: promień wchodzący do ośrodka gęstszego zawsze skręca ku normalnej, a wychodzący — od niej. Po drugie: przy wyjściu ze szkła istnieje kąt, powyżej którego promień w ogóle nie wychodzi. To całkowite odbicie wewnętrzne i wrócimy do niego przy pryzmatach i przy światłowodach w oprawach.

Dlaczego zakrzywiona szybka skupia światło

Skoro umiemy już zaginać pojedynczy promień, zbudujmy z tego soczewkę. Sztuczka polega na tym, żeby promienie biegnące daleko od osi zaginać mocniej niż te blisko osi — wtedy wszystkie spotkają się w jednym punkcie.

Kula załatwia to sama z siebie. Na powierzchni kulistej promień przechodzący przez środek trafia prostopadle i nie zagina się wcale; im dalej od osi, tym bardziej powierzchnia jest nachylona względem promienia, tym większy kąt padania i tym silniejsze załamanie. Kształt kuli jest więc przybliżeniem tego, czego potrzebujemy — i słowo „przybliżenie” jest tu kluczowe, bo dokładnie z jego niedokładności bierze się aberracja sferyczna z Rozdziału 11.

Ten sam mechanizm da się opisać drugim, równoważnym językiem, i warto go znać, bo w Części V będzie potrzebny. W środku soczewki szkła jest więcej niż na jej brzegu, więc fala przechodząca przez środek jest opóźniona bardziej. Płaskie czoło fali wychodzi wygięte — wklęsłe do przodu, czyli zbieżne. Soczewka nie zagina światła; opóźnia jego środek. To sformułowanie wygląda na dziwactwo, dopóki nie dojdziemy do powłok i cienkich warstw, gdzie jest jedynym użytecznym.

Ile dokładnie promień się ugnie, zależy od dwóch rzeczy: od krzywizny powierzchni i od tego, o ile n szkła różni się od n otoczenia. To druga z tych zależności odpowiada za nieoczywisty fakt, że okulary pod wodą prawie nie działają — różnica współczynników spada z 0,52 do 0,19, więc ta sama soczewka zagina niemal trzy razy słabiej.

Każda barwa ma własną ogniskową

Do tej pory pisaliśmy n tak, jakby było stałą materiału. Nie jest. Współczynnik załamania zależy od długości fali — i to jest fakt, wokół którego zorganizowana jest połowa tej książki.

Mechanizm w jednym zdaniu: pole elektryczne fali wymusza na elektronach w atomach szkła drgania — poniżej ich własnej częstotliwości rezonansowej, leżącej w nadfiolecie. Każdy tak wprawiony w ruch elektron sam staje się małym nadajnikiem: promieniuje falkę opóźnioną w fazie względem fali, która go pobudziła. Suma fali padającej i wszystkich tych falek daje falę, której faza narasta wolniej niż w próżni — i to właśnie jest n większe od jedności. Nic nie zostaje pochłonięte; szkło jest przezroczyste dokładnie dlatego, że światło widzialne leży daleko od rezonansu. Im bliżej niego, tym silniejsza odpowiedź elektronów i tym większe opóźnienie fazy — a błękit jest bliżej nadfioletu niż czerwień. Dlatego błękit zawsze zagina się mocniej. Pełny mechanizm — Tom 1, Rozdział 15.

Warto od razu ustawić skalę zjawiska, bo jest zaskakująco mała. Między skrajną czerwienią a skrajnym błękitem współczynnik zwykłego szkła zmienia się o niecały procent. Gdyby chodziło o cokolwiek innego niż optyka, uznalibyśmy to za wartość stałą i poszli dalej. Tutaj ten niecały procent wystarcza, żeby ognisko błękitu i czerwieni rozjechały się o ułamek milimetra — a ułamek milimetra na matrycy o pikselu sześciu mikrometrów jest różnicą między obrazem ostrym a rozmytym.

Skutek widziałeś w każdym pryzmacie i w każdej tęczy. Skutek dla obiektywu jest mniej malowniczy: soczewka skupia błękit bliżej siebie niż czerwień, więc nie ma jednej płaszczyzny ostrości. Ustawiając ostrość na zieleni, godzisz się na to, że błękit i czerwień są już lekko rozmyte.

Przesuń suwak, żeby zobaczyć, jak n zmienia się z barwą dla dwóch typowych szkieł. Zwróć uwagę, że obie krzywe opadają w tę samą stronę — każde szkło zagina błękit mocniej — ale opadają z różną stromością. Ta różnica stromości jest jedynym narzędziem, jakim dysponuje konstruktor.

Liczba pod nazwą każdego szkła na wykresie — V = 64 dla kronu, V = 36 dla flintu — to liczba Abbego: umowna miara tej stromości. Im niższa, tym mocniej szkło rozszczepia. Wystarczy ją na razie traktować jako etykietę; ważne, że flint rozszczepia mocniej niż kron przy porównywalnym załamaniu, bo na tej różnicy stoi cała następna sekcja.

Skąd bierze się definicja V, tabela szkieł i wyprowadzenie prawa Snella — Dodatek A.

Achromat: jak odjąć dyspersję od dyspersji

Skoro każde szkło rozszczepia w tę samą stronę, nie da się znaleźć szkła, które by nie rozszczepiało. Da się natomiast złożyć dwa tak, żeby ich rozszczepienia się zniosły, a moc skupiająca — nie.

Przepis jest zaskakująco prosty: soczewka skupiająca z krona plus soczewka rozpraszająca z flintu. Kron skupia i lekko rozszczepia. Flint rozprasza słabiej, niż kron skupia, ale rozszczepia mocniej — bo ma dwa razy mniejsze V. Dobiera się krzywizny tak, żeby rozszczepienia zniosły się dokładnie, a ze skupiania zostało tyle, ile potrzeba. Wynik to achromat, wynaleziony w połowie osiemnastego wieku i do dziś najczęściej spotykana sklejka w każdym obiektywie.

Achromat ma jednak granicę wpisaną w nazwę. Dwie soczewki dają dwa stopnie swobody, więc da się zejść do jednego ogniska dla dwóch wybranych barw — zwykle czerwieni i błękitu. Zieleń, leżąca między nimi, ląduje trochę obok. Ta pozostałość nazywa się widmem wtórnym i jest tym, co widzisz jako delikatną fioletowo-zieloną obwódkę na kontrastowych krawędziach.

Żeby zejść z trzema barwami do jednego punktu, potrzeba trzeciego szkła o nietypowej charakterystyce — najczęściej fluorytu albo szkła oznaczanego ED. Taki układ nazywa się apochromatem, kosztuje wielokrotnie więcej i jest powodem, dla którego niektóre obiektywy mają w nazwie „APO”, „ED” albo „UD”. Co dokładnie się przy tym dokłada i ile to kosztuje w powierzchniach — Rozdział 15.

Dyspersja w rendererze i w compie

Dyspersja jest jednym z niewielu zjawisk z tej książki, które renderer potrafi policzyć poprawnie sam — pod warunkiem, że mu się na to pozwoli. Trasowanie promieni obsługuje ją naturalnie: wystarczy, żeby współczynnik załamania materiału zależał od długości fali, a promień niósł ze sobą informację o barwie.

Haczyk tkwi w tym drugim warunku. Renderer pracujący w trzech kanałach RGB może co najwyżej wypuścić trzy promienie o trzech różnych n — i to jest właśnie ten „dispersion” albo „abbe number”, który znajdziesz w ustawieniach materiału szkła. Wynik wygląda przekonująco na krawędziach kryształu, ale jest karykaturą: prawdziwa dyspersja daje ciągłą tęczę, a trzykanałowa daje trzy rozjechane kopie. Widać to natychmiast przy silnym rozszczepieniu, na przykład w pryzmacie.

Stąd bierze się tryb widmowy: renderer losuje długość fali dla każdego promienia z ciągłego rozkładu i dopiero na końcu składa wynik do RGB. Kosztuje to więcej próbek, bo każda niesie mniej informacji, ale jest jedyną drogą do poprawnego pryzmatu, poprawnej tęczy i poprawnej cienkiej warstwy.

Jest jeszcze trzecia droga, spotykana w rendererach o ambicjach fizycznych: zamiast jednej liczby Abbego podać pełną krzywą n(λ) z pomiaru. Producenci szkieł publikują ją w postaci wzoru Sellmeiera — rozwinięcia dokładniejszego niż użyty w widgecie wyżej wzór Cauchy'ego, bo uwzględniającego rezonanse elektronowe zarówno w nadfiolecie, jak i w podczerwieni. Różnica między jednym a drugim jest w zakresie widzialnym rzędu tysięcznych, więc dla obrazu nie ma znaczenia; ma je dopiero przy projektowaniu szkła, gdzie liczy się każde miejsce po przecinku.

W compie dyspersja pojawia się w zupełnie innym przebraniu i to jest rzecz, którą warto zapamiętać na później: aberracja chromatyczna dokładana w compie jako rozjazd skali kanałów R, G i B nie jest symulacją dyspersji w szkle sceny. Jest symulacją dyspersji w obiektywie, przez który scena jest oglądana. Te dwa zjawiska mają to samo źródło fizyczne i zupełnie inne miejsce w łańcuchu — jedno dzieje się przed kamerą, drugie w niej.

Rozjazd skali kanałów, jego dwa różne rodzaje i to, który da się odwrócić — Rozdział 14.