Prawo załamania z wyprowadzeniem, współczynniki dla typowych szkieł optycznych i to, co naprawdę mierzy liczba Abbego.
Skoro dyspersja jest właściwością równie ważną co samo n, potrzebuje własnej liczby. Nazywa się liczbą Abbego, oznacza V i jest zbudowana wyjątkowo przewrotnie:
Przewrotność polega na tym, że V jest tym większe, im mniej szkło rozszczepia. Mianownik to rozjazd między błękitem a czerwienią — im mniejszy, tym większy iloraz. Kron o V = 64 rozszczepia słabo; flint o V = 36 rozszczepia mocno. Intuicja podpowiada odwrotnie i trzeba się na to raz uodpornić.
n przy 587,6 nm = 1,5168
n przy 486,1 nm = 1,5224
n przy 656,3 nm = 1,5143
rozjazd = 1,5224 − 1,5143 = 0,0081
V = 0,5168 / 0,0081 = 63,8
Rozjazd między skrajami widma wynosi osiem tysięcznych — liczba znikoma. A jednak wystarcza, żeby wymusić na konstruktorach dokładanie soczewek, których jedynym zadaniem jest ją skasować. Optyka jest dziedziną, w której czwarte miejsce po przecinku decyduje o wszystkim.
Nazewnictwo jest historyczne i mylące. „Kron” i „flint” nie oznaczają dziś składu chemicznego, tylko położenie na wykresie: krony mają wysokie V i raczej niskie n, flinty niskie V i wysokie n. Umowna granica biegnie w okolicach V = 50. Szkła flintowe zawdzięczają swoje właściwości ołowiowi, a od czasu wycofywania go ze względów środowiskowych producenci odtwarzają te same parametry innymi domieszkami — stąd oznaczenia w rodzaju N-SF6, gdzie N znaczy po prostu „bezołowiowy odpowiednik”.
Te dwie liczby — n i V — wystarczają, żeby umieścić szkło na mapie, z której konstruktorzy korzystają od stu lat. Nazywa się diagramem Abbego i jest dosłownie katalogiem tego, co da się kupić. Oś pozioma biegnie odwrotnie, bo taka jest konwencja: im dalej w prawo, tym mniejsza dyspersja.
Kluczowa obserwacja: punkty nie wypełniają wykresu równomiernie. Skupiają się wzdłuż przekątnej, wysokie n idzie w parze z niską V. Szkło, które mocno zagina i słabo rozszczepia, byłoby dla konstruktora darem — i właśnie dlatego szkła leżące wyraźnie nad linią normalną są rzadkie, drogie i noszą specjalne oznaczenia. Fluoryt, siedzący skrajnie po prawej, jest w ogóle kryształem, a nie szkłem: hoduje się go, jest miękki, wrażliwy na wilgoć i na wstrząsy termiczne. Płaci się za niego dokładnie tym.
Prawo Snella ma jeszcze jedną konsekwencję, którą łatwo przeoczyć, a która wraca w kilku miejscach tej książki. Promień wychodzący ze szkła do powietrza skręca od normalnej, więc jego kąt rośnie. Istnieje więc kąt padania od wewnątrz, przy którym kąt wyjścia osiągnąłby dziewięćdziesiąt stopni — czyli promień biegłby wzdłuż powierzchni. Powyżej niego równanie nie ma rozwiązania i światło nie wychodzi wcale: odbija się w stu procentach z powrotem do szkła.
Czterdzieści jeden stopni to niedużo. Dlatego pryzmat potrafi zawrócić wiązkę bez żadnej powłoki lustrzanej — i dlatego lornetki oraz lustrzanki używają pryzmatów zamiast luster, mając przy tym odbicie stuprocentowe zamiast dziewięćdziesięciu paru.
Ta sama liczba ma jednak drugą, mniej przyjemną twarz. Światło, które zabłądziło wewnątrz soczewki i trafia na jej powierzchnię pod dużym kątem, nie ma jak z niej uciec — odbija się w całości i wędruje dalej wewnątrz szkła, aż trafi na krawędź. Dlatego krawędzie soczewek w dobrych obiektywach są matowane i czernione: bez tego działałyby jak światłowód rozprowadzający flarę po całym układzie.
Katalogi producentów zawierają po kilkaset pozycji. Poniższa dziewiątka wystarczy jednak, żeby rozumieć każdą rozmowę o szkle — bo rozpina cały użyteczny zakres i pokazuje, gdzie leżą granice.
| Materiał | nd | Vd | Rola |
|---|---|---|---|
| Fluoryt (CaF₂) | 1,434 | 95,1 | kryształ hodowany, skrajnie niska dyspersja |
| N-FK51A | 1,487 | 84,5 | fluorokron — to jest szkło „ED” |
| Kwarc topiony | 1,458 | 67,8 | stabilny termicznie, przezroczysty w UV |
| N-BK7 | 1,517 | 64,2 | wzorzec i najtańsza opcja |
| N-LAK8 | 1,713 | 53,8 | kron lantanowy — wysokie n przy przyzwoitym V |
| F2 | 1,620 | 36,4 | klasyczny flint ołowiowy |
| N-SF6 | 1,805 | 25,4 | ciężki flint bezołowiowy |
| PMMA (akryl) | 1,492 | 57,4 | tworzywo — tanie asfery formowane |
| Polistyren | 1,591 | 30,9 | tworzywo — „flint” układów plastikowych |
Wartości katalogowe dla linii d (587,6 nm). Dwie ostatnie pozycje to tworzywa: para PMMA + polistyren pełni w obiektywach telefonów dokładnie tę samą rolę, co para kron + flint w szkle.
Warto zobaczyć na tej tabeli dwie rzeczy naraz. Pierwsza to potwierdzenie reguły z diagramu: im wyższe n, tym niższe V — N-SF6 zagina najmocniej i rozszczepia najmocniej, fluoryt odwrotnie. Wyjątkiem jest N-LAK8, i właśnie dlatego szkła lantanowe są drogie.
Druga to para tworzyw na dwóch ostatnich wierszach. PMMA ma V = 57, polistyren V = 31 — czyli rozstaw prawie taki sam jak między N-BK7 a F2. Achromat da się więc zbudować z samych tworzyw, i tak właśnie zbudowane są obiektywy telefonów: sześć albo siedem formowanych elementów, żaden ze szkła. Cena jest w innym miejscu: tworzywa mają kilkakrotnie większą rozszerzalność cieplną i miękną w słońcu, dlatego takiej konstrukcji nikt nie postawi w kamerze kinowej.
Rozdział 2 mówi, że achromat kasuje dyspersję, składając soczewkę skupiającą z kronu z rozpraszającą z flintu. Ile dokładnie mocy przypada na każdą z nich, wynika z dwóch warunków, które trzeba spełnić naraz.
Dwa równania, dwie niewiadome — rozwiązuje się je w jednej linii:
różnica V 64,2 − 36,4 = 27,8
element skupiający φ₁ = φ · 64,2/27,8 = 2,31·φ → f₁ = 100/2,31 = +43,3 mm
element rozpraszający φ₂ = −φ · 36,4/27,8 = −1,31·φ → f₂ = −100/1,31 = −76,4 mm
sprawdzenie 1/43,3 − 1/76,4 = 0,02309 − 0,01309 = 0,01000 → f = 100 mm
Zwróć uwagę, że obie soczewki są znacznie mocniejsze od zestawu: skupiająca ma 43 mm zamiast 100, rozpraszająca 76 mm ze znakiem minus. Achromat kupuje brak barw ceną mocno zakrzywionych powierzchni — a mocno zakrzywione powierzchnie wnoszą aberrację sferyczną i komę. To jest ta sama transakcja, która wraca w całej książce: każda korekcja jest zamianą jednej wady na inną.
Ze wzoru widać też, dlaczego konstruktorzy tak polują na szkła o skrajnych V. Mianownik V₁ − V₂ stoi pod kreską, więc im większy rozstaw liczb Abbego, tym łagodniejsze mogą być krzywizny. Zastąpienie kronu fluorytem podnosi różnicę z 27,8 do prawie 59, czyli mniej więcej połowi wymagane moce — i stąd bierze się realna przewaga obiektywów z elementami fluorytowymi albo ED. Nie chodzi o to, że lepiej kasują barwy; chodzi o to, że kasując je, mniej psują wszystko inne.
Ostatnia uwaga o zakresie: powyższy rachunek kasuje rozjazd między dwiema barwami — linią F i C. Pozostałe barwy nadal nie trafiają dokładnie tam, gdzie trzeba, i ta resztka nazywa się widmem wtórnym. Usunięcie jej wymaga trzeciego szkła i daje układ apochromatyczny, w którym zgadzają się trzy barwy. Stąd oznaczenie APO — i stąd jego cena.