Jeden dipol to ciekawostka. Miliard miliardów dipoli w centymetrze sześciennym to nowa wielkość — polaryzacja ośrodka — która zamienia mikroskopową polaryzowalność w liczbę, którą znasz z katalogu materiałów.
Spójrz latem wzdłuż rozgrzanej szosy: powietrze tuż nad nawierzchnią faluje, a w oddali widać coś, co wygląda jak kałuża odbijająca niebo — kałuży tam oczywiście nie ma. Powietrze samo w sobie jest niewidoczne, ale to, co się z nim dzieje optycznie, jest sumą tego, co robi każda pojedyncza cząsteczka, pomnożonym przez ich ilość. Rozdział 8 pokazał, że jedna cząsteczka w polu E dostaje indukowany moment dipolowy p = α·E. Teraz czas zapytać, co się dzieje, gdy takich cząsteczek jest nie jedna, tylko N na metr sześcienny.
Odpowiedź jest zwyczajną sumą: jeśli wszystkie dipole w danej objętości są (statystycznie) skierowane tak samo — bo wszystkie odpowiadają na to samo lokalne pole — to moment dipolowy przypadający na jednostkę objętości ośrodka, polaryzacja ośrodka P, jest po prostu iloczynem gęstości liczbowej i momentu jednej cząsteczki. Nazwa jest tu myląca bliźniaczo do polaryzacji światła z Rozdziału 2 — ale to dwie zupełnie inne wielkości o tej samej etymologii. Polaryzacja światła to kierunek drgań pola E fali; polaryzacja ośrodka P to gęstość momentu dipolowego, jaką ta fala wywołuje w materii. W tej książce druga zawsze nosi dopisek „ośrodka” albo symbol wielkiej litery P, żeby nie było wątpliwości, o które chodzi.
Poniższy widget liczy P wprost z tego wzoru dla przykładowej cząsteczki o polaryzowalności rzędu azotu (N₂, objętość polaryzowalności α/(4πε₀) ≈ 1,7·10⁻³⁰ m³ — standardowa liczba z Rozdziału 8). Przesuń suwak gęstości N w stronę cieczy, a zobaczysz, że przy tym samym polu E rośnie zarówno gęstość kropek na siatce (schematycznie — siatka nie jest w skali), jak i wynikowe P.
Zwróć uwagę na skalę: nawet przy polu porównywalnym z natężeniem słonecznego światła (rząd 900 V/m, patrz Rozdział 2) i przy gęstości powietrza, P wychodzi liczbą rzędu 10⁻¹² C/m² — mikroskopijną. To właśnie ta drobna wielkość, zsumowana po wszystkich cząsteczkach na drodze fali, jest źródłem wszystkiego, co optyka dalej robi z ośrodkiem: od zakrzywienia promienia nad gorącą szosą po współczynnik załamania szkła.
P samo w sobie nie jest liczbą, którą znajdziesz w katalogu materiałów — tam stoi współczynnik załamania n albo jego elektryczny odpowiednik, przenikalność względna εᵣ. Most między nimi jest krótki: ośrodek reaguje na pole proporcjonalnie do niego (dopóki pole nie jest ekstremalnie silne), więc P = ε₀·χ·E, gdzie χ nazywa się podatnością elektryczną. Przenikalność względna to po prostu χ plus jeden — jedynka za to, że nawet próżnia „przenosi” pole, a χ za to, co dokłada materia:
Ostatni krok wynika z równań Maxwella dla ośrodka; tu bierzesz sam wynik, a fizyczny obraz tego, skąd w ośrodku bierze się wolniejsza fala, przyniesie Rozdział 15. Przy częstotliwościach światła, w ośrodku, który nie reaguje magnetycznie (prawie każdy przezroczysty materiał), zachodzi wprost εᵣ = n². Elektryczna odpowiedź materii i optyczny współczynnik załamania to dwa opisy tej samej liczby.
Sprawdźmy to na powietrzu, żeby liczba nie wisiała w próżni. Gęstość liczbowa cząsteczek w powietrzu w warunkach normalnych to N ≈ 2,5·10²⁵ m⁻³, a polaryzowalność weźmy tę samą, N₂-podobną, α/(4πε₀) ≈ 1,7·10⁻³⁰ m³. Iloczyn Nα/ε₀ = N·4π·(α/4πε₀) ≈ 2,5·10²⁵ · 12,57 · 1,7·10⁻³⁰ ≈ 5,3·10⁻⁴. To jest χ. Ponieważ liczba jest mała, n ≈ 1 + χ/2 ≈ 1 + 2,7·10⁻⁴ — zgadza się z tabelaryczną wartością powietrza, n = 1,0003. Tabele podają często n − 1 ≈ 2,9·10⁻⁴, ale dla 0 °C, kiedy powietrze jest o 7% gęstsze; w temperaturze pokojowej, dla której liczyłeś N, jest to ≈ 2,7·10⁻⁴. Dwuliniowy rachunek na skrawku kartki odtwarza czwartą cyfrę po przecinku współczynnika załamania powietrza — to jest dokładnie to, co ta cała maszyneria ma robić.
Ten sam wzór mówi też coś jakościowo ważniejszego niż jedna liczba: n rośnie z gęstością N. Gaz ma n bliskie 1, bo cząsteczki są rzadko rozsiane; ciecz i ciało stałe mają tych samych cząsteczek (albo podobnych) tysiąc razy więcej w tej samej objętości, więc ich wkłady sumują się do dużo większego χ, a stąd większego n. To pierwsza, najprostsza przyczyna, dla której woda (n = 1,33) i szkło (n = 1,52) załamują mocniej niż powietrze — zanim jeszcze dojdzie druga przyczyna, opisana niżej.
Przy niskich N obie krzywe leżą praktycznie jedna na drugiej — dla rozrzedzonego gazu poprawka jest zaniedbywalna. Rozjeżdżają się dopiero w gęstych ośrodkach, i to jest temat następnej sekcji.
W rzadkim gazie każda cząsteczka jest osamotniona — jej najbliższa sąsiadka jest setki jej własnych rozmiarów dalej, więc jedyne pole, jakie cząsteczka czuje, to pole zewnętrzne E. W cieczy albo ciele stałym sąsiedzi są tuż obok, a każdy z nich sam jest drgającym dipolem, który dokłada własne, niewielkie pole w miejscu, gdzie stoi twoja cząsteczka. Sumę pola zewnętrznego i tych wszystkich wkładów od sąsiadów nazywa się polem lokalnym — i to ono, nie samo E, faktycznie napędza polaryzację gęstego ośrodka. Pełny wzór na tę poprawkę (Clausius–Mossotti) jest w bloku „Zaawansowane” wyżej i w Dodatku C; tutaj wystarczy zapamiętać kierunek efektu — w gęstym ośrodku n wychodzi wyższe, niż przewidywałby naiwny, prostoliniowy wzór z poprzedniej sekcji.
Woda jest najlepszym poligonem do sprawdzenia, gdzie ten prosty obraz się załamuje, bo jej cząsteczka ma coś, czego N₂ nie ma: trwały moment dipolowy (Rozdział 5, kąt H–O–H ≈ 104,5°). W polu stałym albo wolno zmiennym te trwałe dipole mają czas się obrócić i ustawić (średnio) wzdłuż pola — to daje ogromną odpowiedź, statyczną przenikalność εᵣ ≈ 80. Kusi więc policzyć n = √εᵣ ≈ 8,9 — i to jest dokładnie mit, który trzeba tu obalić: εᵣ = 80 nie znaczy n ≈ 9. Woda nie załamuje światła dziewięć razy mocniej niż próżnia; jej n to 1,33.
Powód rozjazdu jest czysto mechaniczny: obrócenie całej cząsteczki wody wymaga przesunięcia atomów, nie tylko chmury elektronów, a to jest ruch dużo wolniejszy. Kuchenka mikrofalowa grzeje wodę właśnie dlatego, że pracuje na częstotliwości (≈2,45 GHz), przy której trwałe dipole wody jeszcze się obracają, ale już z wyraźnym opóźnieniem za polem — a opóźnienie, jak w Rozdziale 9, oznacza energię traconą na tarcie o sąsiadów. Fala świetlna drga około 200 tysięcy razy szybciej — molekuła nie zdąży obrócić się nawet raz, zanim pole odwróci zwrot, więc orientacyjny wkład do polaryzacji zupełnie wypada z gry. Zostaje tylko szybka odpowiedź elektronowa z Rozdziału 8 i 9 — dokładnie ten sam mechanizm, co w N₂ czy szkle, a wyższy wynik niż w powietrzu bierze się głównie stąd, że cząsteczek wody w tej samej objętości jest ponad tysiąc razy więcej. Stąd n² ≈ 1,77, czyli n ≈ 1,33: liczba prawie siedem razy mniejsza niż √80, bo mierzy zupełnie inny, dużo szybszy proces.
Warto od razu odrzucić też pokrewny mit: n wody nie wynika z tego, że woda jest „ciężka”. Masa cząsteczki nie wchodzi do wzoru na P ani na εᵣ w żadnym miejscu — liczy się gęstość liczbowa N i polaryzowalność α, czyli to, jak łatwo pole odkształca chmurę elektronów, a nie to, ile waży jądro, które i tak stoi w miejscu (Rozdział 8). Cięższa cząsteczka o tej samej N i α dałaby dokładnie to samo n.
Ta sama zależność n od gęstości N, opisana w poprzedniej sekcji na przykładzie powietrza, tłumaczy też miraż z otwarcia rozdziału: gorące powietrze przy nawierzchni jest rzadsze niż chłodne powyżej, więc ma niższe N, niższe P, niższe n — a promień świetlny przechodzący przez taki pionowy gradient zakrzywia się w stronę chłodniejszych, gęstszych warstw.
Heat haze w compie to gradient N, nie efekt losowy. Nad gorącą nawierzchnią gorętsze powietrze jest rzadsze — mniejsze N, mniejsze P, mniejsze n. Promień świetlny biegnący blisko gruntu przechodzi przez pionowy gradient n i zakrzywia się ku chłodniejszym (gęstszym) warstwom powyżej — dokładnie ten sam mechanizm co miraż na pustyni. W nodzie zniekształcającym warto budować STMapę z szumu o wyraźnej anizotropii poziomej (fale ciepła drgają głównie pionowo, w wąskich pasmach), najsilniejszą tuż przy linii gorącego asfaltu czy horyzoncie, i zanikającą z wysokością — a nie z jednorodnego szumu izotropowego. Więcej o zakrzywianiu promieni w gradiencie ośrodka (miraże, fatamorgana) znajdziesz w atmosfera_chmury_book.
Stały IOR w shaderze to migawka jednej gęstości. Kiedy w silniku wpisujesz n = 1,33 dla wody, zakładasz jedną, konkretną wartość N i jedną częstotliwość odpowiedzi. Zmiana temperatury, ciśnienia albo zasolenia zmienia N, a więc i n — drobno, ale to właśnie te drobne zmiany N robią całą optyczną robotę w gorącym powietrzu czy słonej wodzie.
Masz już liczbę makroskopową, n, i wiesz, skąd bierze się jej zależność od gęstości. Zostało pytanie, którym ten tom żył od Rozdziału 8: co się dzieje z energią, którą pole wpompowało w drgający dipol? Odpowiedź jest krótka — dipol sam staje się nadajnikiem. W następnym rozdziale zobaczysz, jak wygląda fala, którą emituje pojedynczy drgający elektron, i dlaczego to jest dokładnie ten sam mechanizm, co antena radiowa.
Poprawka pola lokalnego, o której mowa w tym rozdziale, ma jedną zwartą postać, znaną jako wzór Clausius–Mossotti (w optyce często cytowany jako Lorentz–Lorenz, z n² w miejscu εᵣ):
Bez wyprowadzenia: wynika z założenia, że pole lokalne, jakie czuje cząsteczka w jednorodnie spolaryzowanym ośrodku, to pole zewnętrzne plus P/(3ε₀) — wkład od uśrednionych sąsiadów w małej wyimaginowanej wnęce wokół cząsteczki. Im gęstszy ośrodek, tym większy ten dodatkowy wkład, i tym mocniej krzywa n(N) odchyla się od prostego modelu w stronę wyższych wartości — dokładnie tak, jak na wykresie w tym rozdziale. Pełne wyprowadzenie, łącznie z tym, co się dzieje blisko granicy Nα/(3ε₀) = 1 (tzw. katastrofa polaryzacyjna, związana z materiałami ferroelektrycznymi), jest w Dodatku C.