Dwie fale mogą dać dwa razy więcej światła albo zero. O tym, co wyjdzie, decyduje jedna liczba — przesunięcie fazy — i to ona za kilka rozdziałów wyjaśni, dlaczego szkło jest przezroczyste, a niebo niebieskie.
Wrzuć dwa kamyki do stawu w różnych miejscach. Kręgi rozchodzą się od każdego z osobna, a tam, gdzie się nakładają, dzieje się coś więcej niż proste sumowanie wysokości fal — w jednych miejscach woda podskakuje wyżej niż od pojedynczego kamyka, w innych stoi prawie płasko, mimo że oba źródła cały czas pracują. To samo widać jako prążki na powierzchni wody skierowanej pod światło, albo w każdej kałuży, na którą pada deszcz z dwóch stron jednocześnie.
Powód jest prosty, jeśli spojrzysz na falę nie jako na kształt, tylko jako na zegar. W każdym punkcie i w każdej chwili fala jest gdzieś w swoim cyklu drgań — na szczycie, w dolinie, w połowie drogi między nimi. To „gdzie w cyklu” nazywa się fazą, oznacza się φ i mierzy w radianach albo w stopniach, tak jak wskazówkę zegara. Najwygodniej rysować ją właśnie jako wskazówkę: strzałkę o stałej długości, obracającą się ze stałą prędkością kątową. Taką strzałkę nazywa się fazorem, a jej rzut na oś pionową w każdej chwili jest dokładnie wychyleniem fali w tym punkcie. Obróć fazor o pełny obrót — dostaniesz jeden pełny okres sinusoidy. Przesuń suwak w widgecie i sprawdź to na własne oczy: fazor kręci się, a kropka na sinusoidzie po prawej jedzie dokładnie w rytm jego pionowego rzutu.
Skąd bierze się konkretna wartość φ w danym miejscu przestrzeni, mówi jeden prosty wzór. Jeśli porównujesz dwa punkty leżące w odległości Δs wzdłuż kierunku biegu fali, ich fazy różnią się o:
To ten sam wzór, który za chwilę pozwoli policzyć, kiedy dwie fale się wzmocnią, a kiedy zgaszą — wystarczy znać różnicę dróg, jaką każda z nich przebyła, i podzielić ją przez λ. Warto zapamiętać skalę: dla zielonego światła (λ = 550 nm) różnica dróg zaledwie 275 nm — mniej niż połowa długości fali, ułamek grubości ludzkiego włosa — wystarczy, żeby przestawić fazor o pełne 180° i zamienić wzmocnienie w zgaszenie. Optyka falowa jest wrażliwa na odległości, o których w geometrii promienia (Rozdział 1, Tom 2) nikt by nawet nie pomyślał.
Ten sam rachunek działa też w czasie, nie tylko w przestrzeni: skoro fazor obraca się ze stałą prędkością, można równie dobrze pytać, o ile faza przesunie się w ciągu jakiegoś odcinka czasu, zamiast o ile przesunie się wzdłuż jakiegoś odcinka drogi. Dla zielonego odniesienia jeden pełny obrót fazora, czyli jeden okres T, trwa około 1,8 femtosekundy — i to jest tempo, w którym trzeba by nadążać, żeby „zobaczyć” fazę bezpośrednio. Żaden detektor tego nie potrafi; to, co rejestruje matryca albo oko, jest zawsze uśrednieniem po wielu takich obrotów. Dlatego cała reszta tego rozdziału dotyczy tego, co zostaje z fazy po uśrednieniu — a nie samej fazy z osobna.
Skoro fazor to strzałka, dodawanie dwóch fal to zwykłe dodawanie dwóch wektorów: ustawiasz je tip-to-tail i patrzysz, co wyszło. Gdy oba fazory wskazują ten sam kierunek — fale są w fazie — ich suma jest po prostu dłuższa: amplituda się podwaja, a ponieważ natężenie idzie z kwadratem amplitudy (I ∝ A²), natężenie rośnie czterokrotnie, nie dwukrotnie. To jest interferencja konstruktywna, i to jest dokładnie to miejsce w stawie, gdzie woda podskakuje najwyżej.
Gdy fazory wskazują przeciwne kierunki — fale są w przeciwfazie, Δφ = 180° — dodają się do zera. Suma po prostu znika, mimo że oba źródła cały czas pracują z pełną mocą. To interferencja destruktywna, i to jest ten spokojny placek na powierzchni wody. Między tymi dwiema skrajnościami leży cały wachlarz wyników pośrednich, a przy Δφ = 90° dwie fale o jednakowej amplitudzie A dają sumę o amplitudzie A√2 — mniej niż podwojenie, bo część długości fazorów „zużywa się” na obrót, a nie na wydłużenie.
Ten sam rysunek fazorów, tylko z bardzo nierówną długością obu wektorów, jest jednym z najważniejszych obrazków w tej książce — pojawi się ponownie, gdy w Rozdziale 15 policzysz, dlaczego szkło w ogóle zagina światło. Chodzi o sytuację, w której jeden fazor jest duży, a drugi — mały i ustawiony prostopadle do niego. Wypróbuj to na poniższym widgecie: mały fazor dodany pod kątem 90° do dużego prawie nie zmienia jego długości (efekt drugiego rzędu, znikomy dla naprawdę małego dodatku), ale zauważalnie obraca kierunek sumy. Innymi słowy: mały wkład pod kątem prostym do dużego głównie zmienia fazę, nie amplitudę. Zapamiętaj ten obrazek — to jest dokładnie mechanizm, przez który cienka warstwa atomów potrafi opóźnić czoło fali, nie zabierając mu prawie żadnej energii.
Cała powyższa arytmetyka fazorów działa tylko pod jednym warunkiem: różnica faz Δφ między dwiema falami musi być ustalona — taka sama teraz, sekundę temu i za sekundę. Taki układ nazywa się spójnym (coherent). Dwa głośniki podłączone do jednego sygnału są spójne. Dwa kamyki wrzucone do stawu w tym samym rytmie — też. Wtedy masz prawo dodawać amplitudy i dopiero na końcu podnosić wynik do kwadratu:
Realne światło — żarówka, słońce, dowolna lampa — jest inne. Każdy atom w źródle emituje swoją falkę niezależnie od sąsiadów, a jego faza startowa jest przypadkowa i zmienia się co ułamek sekundy (albo szybciej). Taki układ jest niespójny (incoherent): Δφ między dowolną parą źródeł skacze losowo, więc uśredniony w czasie człon 2A₁A₂cosΔφ wynosi zero — dodatnie i ujemne wartości cosinusa znoszą się nawzajem. Zostaje tylko suma kwadratów. Dla N jednakowych, niezależnych źródeł to prosta różnica potęg:
Poniższy widget pokazuje obie sytuacje naraz dla tej samej liczby źródeł N. Po lewej fazory ustawione w jednej linii — spójna suma, prosta droga do coraz dłuższego wektora. Po prawej te same N fazorów, ale każdy pod losowym kątem — errantyczny spacer, który kończy się dużo bliżej startu niż wyprostowana linia. Wykres obok pokazuje, jak rozjeżdżają się obie krzywe natężenia wraz z rosnącym N: jedna pnie się jak parabola, druga jak linia prosta.
Zwykłe światło, z jakim masz do czynienia na planie i w scenie renderowanej, jest niespójne — i to jest dobra wiadomość, bo dzięki temu renderer może po prostu sumować radiancje ze wszystkich źródeł i odbić, bez pilnowania faz. Jest dokładnie jeden powszechny wyjątek, w którym fazy przestają być losowe: fala odbita od dwóch powierzchni tej samej cienkiej warstwy przebywa ustaloną, geometrycznie zadaną różnicę dróg — a to znaczy, że jest spójna sama ze sobą. Właśnie tam wraca cały ten rozdział: przy cienkich warstwach i powłokach z Tomu 2, Rozdziału 24, i przy dyfrakcji z Tomu 2, Rozdziału 10. Fazory i ich dodawanie — narzędzie, nie ozdobnik — są od teraz gotowe do użycia w obu miejscach, a formalny zapis fazora jako liczby zespolonej znajdziesz w primerze matematycznym.
Sumowanie radiancji w rendererze działa, bo światło w scenie jest niespójne. Kiedy path tracer zbiera wkład od wielu odbić i wielu źródeł, dodaje ich natężenia wprost, bez pilnowania faz — i to jest fizycznie poprawne, dopóki źródła rzeczywiście drgają niezależnie. Jedynym miejscem, gdzie ta zasada nie wystarcza, jest shader cienkiej warstwy (thin-film): tam trzeba jawnie policzyć różnicę dróg i cosinus z Δφ, bo dwa odbicia od tej samej warstwy są spójne.
Interferencja nie jest laboratoryjną ciekawostką. Dzieje się w każdym kawałku szkła, w każdej powłoce przeciwodblaskowej i w każdej bańce mydlanej — po prostu zwykle na tyle drobno przestrzennie albo spektralnie, że oko uśrednia efekt do gładkiego koloru. Kiedy warstwa jest wystarczająco cienka i regularna, ten sam mechanizm daje widoczne tęczowe paski — plamę oleju na mokrym asfalcie.
Masz już dwa narzędzia: pole E jako siłę pchającą ładunki (Rozdział 2) i fazory jako sposób dodawania fal (ten rozdział). W następnym rozdziale dokładamy trzeci składnik — samą materię. Zobaczysz, z czego zbudowany jest atom i dlaczego to, ile ma elektronów, decyduje o tym, jak reaguje na przechodzące przez niego pole. Fazory wrócą, gdy w Rozdziale 11 elektron zacznie promieniować własną falkę, a w Rozdziale 15 ten sam duży-fazor-plus-mały-fazor obrót wyjaśni, czym naprawdę jest współczynnik załamania.
Kiedy dwie fale w danym punkcie znoszą się do zera, kusi, żeby zapytać: gdzie podziała się cała ta energia? Odpowiedź brzmi: nigdzie nie zniknęła — po prostu nie jest równo rozłożona. Interferencja nie usuwa energii z układu, tylko przemieszcza ją z miejsc destruktywnych do konstruktywnych.
Zsumuj energię po całym obszarze, w którym dwie fale się nakładają — nie w jednym punkcie, tylko po całej płaszczyźnie prążków — a dostaniesz dokładnie sumę energii, jaką niosłyby obie fale osobno. Tam, gdzie prążek jest ciemny, brakująca energia znajduje się w sąsiednim jasnym prążku, który jest jaśniejszy, niż byłby przy zwykłym (niespójnym) sumowaniu natężeń. Zasada zachowania energii nigdy nie jest łamana — łamie się tylko intuicja, że natężenie w jednym punkcie da się przewidzieć bez wiedzy o tym, co się dzieje w punktach sąsiednich.
To samo tłumaczy, dlaczego powłoka przeciwodblaskowa naprawdę zmniejsza odbicie, a nie tylko je „przemalowuje” gdzie indziej na tej samej powierzchni: energia, która nie odbija się do tyłu, bo dwa odbite promyki się tam znoszą, musi przejść do przodu, w głąb szkła. Zysk na odbiciu jest więc dokładnie zyskiem na transmisji — i to jest cały sekret powłok, do którego wrócisz w Tomie 2, Rozdziale 24.