Przekrój czynny, zależność 1/λ⁴, przejście od reżimu Rayleigha do Mie, dlaczego granica wypada akurat tam, gdzie wypada, mapa pasm pochłaniania od ultrafioletu po podczerwień — i galeria kształtów rozproszenia na sześciu rozmiarach, od cząsteczki azotu po kroplę deszczu.
Wielkość opisująca, jak skutecznie cząstka rozprasza światło, nazywa się przekrojem czynnym. Ma wymiar powierzchni i można ją rozumieć jako „efektywny rozmiar tarczy”, którą cząstka nadstawia fali — niekoniecznie równy jej rozmiarowi geometrycznemu.
Dla cząstki znacznie mniejszej od długości fali (reżim Rayleigha) przekrój czynny wynosi:
Dla naszych celów istotne są dwie zależności ukryte w tym zapisie:
σ ∝ d⁶ — szósta potęga średnicy. Dwukrotnie większa cząstka rozprasza 64 razy mocniej. To dlatego garstka aerozolu potrafi zdominować rozpraszanie nad nieporównanie liczniejszymi cząsteczkami gazu.
σ ∝ 1/λ⁴ — czwarta potęga długości fali w mianowniku. To jest zależność z Rozdziału 5.
Wyprowadzenie w skrócie, bez rachunków. Fala świetlna to biegnące pole elektryczne. Trafiając na cząsteczkę, rozkołysuje jej elektrony — powstaje drgający dipol.
Drgający ładunek promieniuje, a moc wypromieniowana jest proporcjonalna do kwadratu przyspieszenia. Przyspieszenie drgania harmonicznego rośnie z kwadratem częstotliwości. Kwadrat kwadratu daje czwartą potęgę częstotliwości — a że częstotliwość jest odwrotnie proporcjonalna do długości fali, dostajemy 1/λ⁴.
Kluczowe założenie: cząsteczka musi być na tyle mała, żeby całe pole „widziało” ją jednocześnie. Gdy rozmiar zbliża się do długości fali, różne części cząstki czują pole w różnych fazach, promieniowanie z nich zaczyna się wygaszać i cała zależność się psuje.
We wzorze na przekrój czynny, na samym początku tego dodatku, przemknął czynnik ((n²−1)/(n²+2))², a myśmy przeszli nad nim do porządku dziennego. Czas się zatrzymać — bo to jest drugi, niezależny od rozmiaru powód, dla którego dwie cząstki potrafią rozpraszać zupełnie inaczej.
Wróćmy do rozkołysanego elektronu z poprzedniej sekcji. Atom to ciężkie, dodatnio naładowane jądro otoczone dużo lżejszą chmurą ujemnych elektronów. Pole elektryczne fali światła pcha tę chmurę w jedną stronę, a jądro — z racji masy — prawie się nie rusza. Powstaje chwilowe rozsunięcie ładunków, czyli indukowany dipol, dokładnie ten sam, który promieniuje i daje nam rozproszone światło.
Pytanie brzmi: jak łatwo dana chmura elektronowa daje się tak rozsunąć? Odpowiada na to polaryzowalność — miara tego, jak duży dipol powstaje pod wpływem danego pola. Atomy i cząsteczki z większą liczbą elektronów, zwłaszcza takich, które są słabiej związane z jądrem (dalej od niego, rozmyte na wiele atomów, jak w sadzy czy pyle mineralnym), mają wyższą polaryzowalność niż mała, ciasno związana cząsteczka azotu czy tlenu. A to właśnie polaryzowalność materiału ustala jego współczynnik załamania n — tę samą liczbę, która siedzi w formule na σ. Innymi słowy: n nie jest przypadkową stałą materiałową, tylko bezpośrednim zapisem tego, jak elektrony danej substancji reagują na pole świetlne.
Dwa uczciwe zastrzeżenia. Po pierwsze, n nie jest jedną liczbą dla danej substancji, tylko zależy od barwy. Fiolet leży odrobinę bliżej ultrafioletowych rezonansów elektronów niż czerwień (o rezonansach — w następnej sekcji), więc kołysze nimi trochę chętniej i n dla fioletu wychodzi nieco większe. Tę zależność współczynnika załamania od barwy nazywa się dyspersją i to ona rozszczepia światło w pryzmacie, w tęczy i w halo. Po drugie, z tego samego powodu zależność 1/λ⁴ z początku dodatku jest przybliżeniem: w powietrzu czynnik z n dokłada fioletowi jeszcze kilka procent, więc zamiast 9,4 raza fiolet rozprasza się chętniej od czerwieni mniej więcej 10 razy. Skąd ta poprawka, pokazuje model elektronu na sprężynce w oknie „Zaawansowane” w Rozdziale 3.
Lód i woda są niemal identyczne — ich cząsteczki mają bardzo zbliżoną polaryzowalność, więc kryształ lodu i kropla wody tego samego rozmiaru rozpraszają światło niemal tak samo silnie. Kwarc i pył mineralny mają ciaśniejszą, ale liczniejszą sieć elektronów w krysztale — stąd wyższe n i ponad dwa razy silniejsze rozpraszanie przy tym samym rozmiarze. Sadza idzie o krok dalej: jej rozbudowana, częściowo swobodna chmura elektronowa (typowa dla węgla w formie amorficznej) daje najwyższą polaryzowalność z całej czwórki — ale znaczna część pochłoniętej energii nigdy nie wraca jako rozproszone światło, tylko zamienia się w ciepło. Fachowo mówi się wtedy, że współczynnik załamania ma niezerową część urojoną — realna liczba n opisuje samo rozpraszanie, część urojona opisuje pochłanianie. Jak ta część urojona wygląda dla wody, lodu, pyłu i sadzy w różnych barwach — w następnej sekcji.
To dokładnie tłumaczy eksperyment z papierosowym dymem z sekcji „Sprawdźmy to bez wychodzenia z domu” w Rozdziale 3: dym z reguły zawiera drobiny sadzy, więc — mimo rozmiaru porównywalnego z kropelką mgły — nie wygląda biało jak mgła czy chmura, tylko szaro albo brązowo. Rozmiar cząstki (galeria wyżej) i jej skład (ta sekcja) to dwa niezależne pokrętła, oba wbudowane w tę samą formułę na σ z samego początku dodatku — jedno steruje przez d⁶, drugie przez ((n²−1)/(n²+2))².
W Rozdziale 3 zobaczyliśmy, skąd bierze się pochłanianie: fala, której tempo trafi w rezonans cząsteczki — jej własne, ulubione tempo drgań — nie zostaje odesłana dalej, tylko zamienia się w ciepło. Zakres barw, w którym to się dzieje, nazywamy pasmem pochłaniania. Tutaj zbieramy pasma głównych mieszkańców atmosfery na jednej mapie: od ultrafioletu, czyli fal krótszych niż fiolet, po daleką podczerwień, czyli fale kilkadziesiąt razy dłuższe niż czerwień.
Ultrafiolet: piętro elektronów. Najkrótsze fale trafiają w rezonanse elektronów. Azot pochłania dopiero poniżej mniej więcej 100 nm; tlen — silnie poniżej 200 nm i słabo do około 240 nm, rozpadając się przy tym na pojedyncze atomy, z których powstaje ozon. Ozon trzyma swoje elektrony słabiej, więc jego rezonans leży bliżej światła: bardzo silne pasmo Hartleya od około 200 do 310 nm i słabnące pasmo Hugginsa do mniej więcej 350 nm. Razem te pasma zamykają niebo tak szczelnie, że do powierzchni Ziemi nie dociera prawie nic krótszego niż około 295 nm.
Ozon grzeje stratosferę. Pochłonięty ultrafiolet nie znika — zamienia się w ciepło powietrza, w którym zginął. Dlatego w stratosferze temperatura rośnie z wysokością, zamiast maleć jak w troposferze (Rozdział 2). Najcieplej jest przy tym nie tam, gdzie ozonu jest najwięcej, czyli na 20–25 km, tylko wyżej, około 50 km: ultrafiolet jest zjadany najpierw w górnych warstwach, a tamtejsze rzadkie powietrze od tej samej porcji energii nagrzewa się mocniej.
Światło widzialne: okno. Między 400 a 700 nm atmosfera prawie niczego nie pochłania. Jedynym wyjątkiem, który da się zobaczyć, jest słabe pasmo Chappuis ozonu, obejmujące większą część widma, z maksimum w pomarańczu przy około 600 nm: w pionie zabiera kilka procent światła, a o zmierzchu, na drodze kilkadziesiąt razy dłuższej, robi granat błękitnej godziny (Dodatek F). Tlen ma jeszcze kilka bardzo wąskich i bardzo słabych pasm w czerwieni, które widzi spektroskop, ale nie oko. To okno wypada dokładnie tam, gdzie Słońce świeci najmocniej — i właśnie ten zakres nasze oczy nauczyły się widzieć.
Podczerwień: piętro drgań i obrotów. Tu rezonują całe atomy, a nie elektrony, więc liczy się kształt cząsteczki. Azot i tlen są symetryczne, drgając nie przesuwają ładunku i podczerwieni nie ruszają. Para wodna, zgięta i ze stałym dipolem, ma pasma prawie wszędzie: w bliskiej podczerwieni, przy 6,3 µm i w całej dalekiej podczerwieni powyżej kilkunastu mikrometrów. Dwutlenek węgla łapie przy 4,3 i 15 µm, ozon — przy 9,6 µm. Między mniej więcej 8 a 12 µm zostaje szczelina, w której prawie nic nie pochłania: okno atmosferyczne, przez które ciepło ziemi ucieka prosto w kosmos. To okno jest dla klimatu kluczowe, bo ciepło oddawane przez Ziemię ma szczyt właśnie w jego okolicy, a pasmo dwutlenku węgla przy 15 µm przylega do niego od strony dłuższych fal: każda dodatkowa porcja CO₂ poszerza to pasmo i trochę okno przymyka. A co pochłania, to i świeci — gaz, który zjada podczerwień, sam ją wysyła we wszystkie strony, także z powrotem w dół.
Kropla, kryształ, drobina: jedna liczba k. W cieczy i w ciele stałym cząsteczki stoją ciasno, a ich wąskie pasma rozlewają się w szerokie. Opisuje je współczynnik pochłaniania k — ta sama część urojona współczynnika załamania, o której była mowa w poprzedniej sekcji. Im większe k, tym krótsza droga, na której fala w materiale gaśnie:
Pozostałe materiały z tej samej perspektywy. Lód zachowuje się prawie jak woda: przezroczysty w świetle widzialnym, silnie pochłaniający w podczerwieni, tylko z pasmami przesuniętymi o odrobinę — i to wystarcza satelitom, które porównując jasność chmury przy 11 i 12 µm, odróżniają chmurę lodową od wodnej. Pył mineralny ma k bliskie zera w większości światła widzialnego, ale domieszka rdzy podnosi je w błękicie i w ultrafiolecie, stąd żółtawy odcień pyłu saharyjskiego; kwarc ma przy tym silne pasmo przy 9 µm, w samym oknie atmosferycznym. Sadza ma k około 0,8 w całym widmie, od ultrafioletu po podczerwień — i żadnego okna.
Granicę między reżimami wyznacza bezwymiarowy parametr rozmiaru:
W reżimie Mie nie ma prostego wzoru — rozwiązanie Mie z 1908 roku to nieskończony szereg funkcji specjalnych, liczony numerycznie. Praktyczny wniosek pozostaje jednak prosty i jest tym z Rozdziału 3: zależność od barwy zanika, rozpraszanie robi się silne i skierowane do przodu.
Rozdział 3 pokazuje kształt rozproszenia — lob — na dwóch skrajnych przypadkach, w widżecie 3D: cząsteczce gazu i kropelce chmury. Tu jest to samo, ale na sześciu przykładach naraz i w rzucie płaskim, żeby dało się je porównać jednym spojrzeniem. Każdy panel używa tego samego przybliżenia kierunkowego, którego suwak „skierowanie do przodu” widzieliśmy w tamtym widżecie — nie jest to policzone rozwiązanie Mie (tego, jak ustaliliśmy wyżej, nie da się zapisać wzorem), tylko jego dobre przybliżenie kształtu.
To jest właśnie odpowiedź na pytanie „dlaczego rozmiar ma znaczenie”, tylko rozłożona na sześć kroków zamiast dwóch. Cząsteczka azotu i cząstka dymu wyglądają niemal identycznie — obie głęboko w reżimie Rayleigha, obie rozpraszają niemal symetrycznie. Aerozol jest już przejściem: parametr x rzędu jedności, kształt zaczyna się wydłużać. Kropelka chmury pcha wyraźną większość światła do przodu. A kropla mżawki i kropla deszczu, mimo że różnią się rozmiarem stukrotnie, wyglądają na tym wykresie niemal tak samo — obie są tak duże wobec fali światła, że dalsze powiększanie nie zmienia już kształtu rozproszenia, tylko jego intensywność.
Galeria wyżej pokazuje kształt rozproszenia. Zostaje jeszcze pytanie o ilość: jak skutecznie, w sumie, cząstka rozprasza światło w miarę wzrostu rozmiaru? Odpowiada na to wydajność rozpraszania, oznaczana Qsca — liczba bez miana, która mówi, ile razy większy jest efektywny przekrój cząstki (patrz sekcja wyżej) w porównaniu z jej przekrojem geometrycznym, czyli zwykłym „polem kołowym” jej cienia.
Ten ostatni fakt bywa zaskoczeniem: duża cząstka rozprasza około dwa razy więcej światła, niż wynikałoby z jej geometrycznego cienia, a nie dokładnie tyle, ile ten cień zajmuje. Połowa tego rozproszenia to zwykłe odbicie i załamanie na powierzchni — to, co intuicja podpowiada. Druga połowa to dyfrakcja na krawędzi: fala „obchodzi” przeszkodę i też liczy się jako rozproszona. Efekt jest znany jako paradoks ekstynkcji i tłumaczy, dlaczego mgła i chmura, zbudowane z kropelek dużo większych od fali światła, wciąż potrafią być aż tak nieprzezroczyste.
Falowanie widoczne w środkowej części wykresu to seria naprzemiennych wzmocnień i wygaszeń — fala odbita od powierzchni kropli i fala, która ją okrążyła, spotykają się w fazie albo w przeciwfazie, zależnie od dokładnego rozmiaru. To dokładnie ten sam mechanizm, co pierścienie w cienkiej warstwie oleju na wodzie, tylko w trzech wymiarach i policzony dla kuli zamiast dla płaskiej warstwy.