Piszemy „hemisfera Ω” od Rozdziału 5 i całkujemy po niej od Rozdziału 15. Ten dodatek daje temu formalną definicję i konkretny wzór na policzenie kąta bryłowego prawdziwego kształtu światła — dokładnie tego, czego potrzeba do samplowania z Rozdziałów 6, 15 i 16.
TL;DR
Kąt bryłowy to dwuwymiarowy odpowiednik kąta płaskiego: ω = A/r² (powierzchnia na sferze, podzielona przez kwadrat radiusu), mierzony w steradianach.
Pełna sfera to 4π sr, hemisfera to 2π sr — te same liczby, które widziałeś jako granice całek od Rozdziału 15.
Kąt bryłowy, pod jakim widzisz światło o powierzchni (kula, dysk), da się policzyć wzorem w zamkniętej formie — to jest podstawa poprawnego próbkowania świateł powierzchniowych.
Pass: Definicja
Kąt bryłowy: dwuwymiarowy odpowiednik kąta
Kąt płaski w radianach to długość łuku podzielona przez radius: θ = s/r. Kąt bryłowy robi to samo w dwóch wymiarach: dzieli powierzchnię wycinka sfery przez kwadrat radiusu.
dω = dA / r²dA — mały fragment powierzchni sfery o radiusie r, widziany z jej centrum; jednostka: steradian (sr), bezwymiarowa jak radian
Solid.angle.definitiondω = dA/r²
Ten sam kawałek powierzchni na sferze dwa razy większej ma dwa razy większe dA — ale identyczne dω.
Pass: Zastosowanie
Kąt bryłowy kuli-światła
Żeby poprawnie próbkować światło kulowe (Rozdziały 6, 15, 16), potrzebujesz wiedzieć, jaki kąt bryłowy zajmuje ono widziane z punktu trafienia. Dla kuli o radiusie r, widzianej z odległości d (od centrum, d > r), promienie styczne do kuli tworzą stożek — kąt bryłowy tego stożka ma zamkniętą formę:
sinθ_max = r/d Ω = 2π(1 − cosθ_max)θ_max — kąt połowy stożka stycznego do kuli; przy d→r (blisko powierzchni) Ω→2π (cała hemisfera); przy d→∞, Ω→0
Przykład — światło kulowe w typowej scenie
Kula-światło: r = 2 m. Punkt trafienia w odległości d = 10 m od jej centrum.
Wynik: to światło zajmuje ≈0,127 sr — około 1% pełnej hemisfery (2π ≈ 6,283 sr).
Sprawdzenie granic: przy d→r=2 (stojąc tuż przy powierzchni), Ω→2π — cała hemisfera, zgodnie z intuicją (światło wypełnia całe pole widzenia).
Sphere.light.solid.angletangent cone from external point
Dwie styczne wyznaczają stożek — jego kąt bryłowy to Ω z wzoru wyżej, dokładnie ten, po którym integrujesz przy próbkowaniu światła.
Z praktyki
To dosłownie ten wzór, który renderer liczy pod maską, kiedy ustawiasz światło kulowe (area light: sphere) w Arnoldzie czy V-Rayu i widzisz miękkie cienie o rozmiarze proporcjonalnym do rozmiaru i odległości światła — mały kąt bryłowy = ostrzejszy cień, duży = miękki. Dla świateł o innych kształtach (dysk, prostokąt) istnieją analogiczne, choć bardziej złożone wzory na kąt bryłowy albo bezpośrednie próbkowanie po powierzchni z przeliczeniem na kąt bryłowy — to dokładnie temat transformacji między rozkładami z kolejnego dodatku.
Słowniczek
Kąt bryłowy (ω)
dA/r² — dwuwymiarowy odpowiednik kąta płaskiego, w steradianach.
Steradian (sr)
Jednostka kąta bryłowego; pełna sfera = 4π sr.
Stożek styczny
Zbiór kierunków stycznych do kuli widzianej z punktu zewnętrznego.
Co dalej
Kolejny dodatek w tej grupie: fundamenty Monte Carlo — estymatory, metoda odwrotnej CDF, i transformacja gęstości między powierzchnią a kątem bryłowym, którą tylko wspomnieliśmy tutaj.