Geometria tęczy: skąd dokładnie 42°

Kąt minimalnego odchylenia, druga tęcza, pas Aleksandra i moment, w którym teoria promieni przestaje wystarczać.

Kąt odchylenia · skąd maksimum

Rachunek Kartezjusza

Promień trafiający w kroplę w odległości b od jej osi (mierzonej w promieniach kropli, więc b od 0 do 1) wchodzi pod kątem padania i, gdzie sin i = b. Wewnątrz biegnie pod kątem załamania r, danym prawem Snella:

sin i = n · sin rn — współczynnik załamania wody względem powietrza. Zależy nieznacznie od barwy: 1,331 dla czerwieni, 1,343 dla fioletu.

Całkowite odchylenie promienia po dwóch załamaniach i jednym odbiciu wewnętrznym wynosi:

D = 2(i − r) + (180° − 2r) = 180° + 2i − 4rD — całkowite odchylenie od pierwotnego kierunku. Kąt widzenia tęczy to 180° − D.

Policzone: gdzie D osiąga minimum

Szukamy dD/di = 0, czyli 2 − 4·(dr/di) = 0, stąd dr/di = 0,5

Z prawa Snella: cos i = n · cos r · (dr/di), więc cos i = 0,5 · n · cos r

Rozwiązanie dla n = 1,333: i ≈ 59,6°, r ≈ 40,4°

D = 180 + 2(59,6) − 4(40,4) = 138°

Kąt widzenia: 180° − 138° = 42°

Parametr zderzenia w minimum: b = sin(59,6°) = 0,86 — czyli promienie tworzące tęczę trafiają w kroplę blisko jej krawędzi, nie w środek. To dlatego suwak w Rozdziale 19 pokazuje tęczę dopiero przy dużych wartościach.

Kluczowe jest to, że w otoczeniu minimum funkcja jest płaska — mała zmiana b prawie nie zmienia D. Dlatego wiele promieni o różnych b wychodzi pod niemal identycznym kątem i światło się tam spiętrza. To spiętrzenie jest tęczą.

Druga tęcza i pas Aleksandra

Dwa odbicia, kąt większy, barwy odwrócone

Przy dwóch odbiciach wewnętrznych odchylenie wynosi D = 360° + 2i − 6r, a minimum wypada tak, że kąt widzenia to około 51°.

Policzone: kąty dla obu tęcz i obu skrajnych barw

Tęcza główna, czerwień (n = 1,331): 42,4°

Tęcza główna, fiolet (n = 1,343): 40,6°

Tęcza wtórna, czerwień: 50,4°

Tęcza wtórna, fiolet: 53,6°

Zwróćmy uwagę na kolejność: w tęczy głównej czerwień jest DALEJ od środka, w tęczy wtórnej BLIŻEJ. Stąd odwrócenie barw. A obszar między 42,4° a 50,4° nie dostaje światła z żadnego z tych dwóch mechanizmów — i to jest pas Aleksandra.

Każde dodatkowe odbicie zabiera energię, więc tęcza wtórna jest około dziesięć razy słabsza. Tęcze trzeciego i czwartego rzędu istnieją, ale wypadają po stronie Słońca (przy 40° i 45° od niego) i toną w blasku; sfotografowano je po raz pierwszy dopiero w 2011 roku.

Granice modelu · gdzie promienie zawodzą

Teoria Airy'ego i łuki nadliczbowe

Powyższy rachunek traktuje światło jako promienie i przewiduje ostrą granicę jasności przy 42°. Obserwacja pokazuje coś innego: przejście jest rozmyte, a pod fioletowym brzegiem widać czasem wąskie, różowo-zielone prążki.

To łuki nadliczbowe i wynikają z interferencji. Promienie o różnych parametrach zderzenia wychodzą pod tym samym kątem, ale przebyły różne drogi optyczne — więc ich fale nakładają się, w niektórych kątach wzmacniając, w innych wygaszając.

George Airy opisał to w 1838 roku, wprowadzając funkcję nazwaną później jego imieniem. Pełne rozwiązanie wymaga jednak teorii Mie i jest numeryczne.

Praktyczna konsekwencja: łuki nadliczbowe widać tylko przy małych i jednorodnych kroplach, poniżej mniej więcej 1 mm. Przy dużych kroplach prążki różnych rozmiarów nakładają się i znikają. Dlatego widuje się je najczęściej przy mżawce albo na skraju kurtyny deszczu, nie w środku ulewy.

← Spis treści ↑ Rozdział 19: Tęcza: kropla jako pryzmat