Dodatek LWzory · takPoziom · głębiejEXT OF · R.12
Dodatek L / Głębiej
Prędkość opadania i prawo Stokesa
Dlaczego kropelka chmurowa opada centymetr na sekundę, a kropla deszczu osiem metrów — z rachunkiem.
Prawo Stokesa · dla bardzo małych kropel
Opór rośnie z promieniem, ciężar z sześcianem
Kropla spadająca w powietrzu przyspiesza, dopóki opór nie zrówna się z ciężarem. Potem opada ze stałą prędkością graniczną. Dla bardzo małych kropel, gdy przepływ jest laminarny, opór opisuje prawo Stokesa:
v = 2 · Δρ · g · r² / (9 · η)v — prędkość graniczna opadania, w m/s. Kluczowe jest r² — prędkość rośnie z KWADRATEM promienia.
Policzone: kropelka chmurowa
Promień r = 10 µm = 1·10⁻⁵ m
v = 2 · 1000 · 9,81 · (1·10⁻⁵)² / (9 · 1,8·10⁻⁵)
v = 2 · 1000 · 9,81 · 1·10⁻¹⁰ / 1,62·10⁻⁴
Wynik: v ≈ 0,012 m/s, czyli około 1,2 cm/s
Typowy prąd wstępujący w termiku ma 1 m/s — osiemdziesiąt razy więcej. Dlatego kropelka nie ma szans opaść i chmura wisi, mimo że waży setki ton. To jest liczbowa odpowiedź na pytanie z Rozdziału 12.
Kwadratowa zależność od promienia jest tu najważniejsza. Dwukrotnie większa kropelka opada czterokrotnie szybciej — dlatego wzrost kropli tak gwałtownie zmienia sytuację i dlatego istnieje wyraźny próg między „wisi” a „pada”.
Poza Stokesem · duże krople
Gdzie wzór przestaje działać
Prawo Stokesa zakłada przepływ laminarny wokół kropli. Powyżej promienia około 40 µm przepływ robi się turbulentny, opór rośnie szybciej niż przewiduje wzór i prędkość przestaje rosnąć z kwadratem promienia. Dla dużych kropel skaluje się mniej więcej jak pierwiastek z promienia.
Rzeczywiste prędkości opadania
Kropelka chmurowa, 10 µm: 1,2 cm/s — praktycznie zawieszona
Duża kropelka, 50 µm: 27 cm/s
Mżawka, 100 µm: 70 cm/s
Mały deszcz, 0,5 mm: 2,1 m/s
Typowy deszcz, 2 mm: 6,5 m/s
Duża kropla, 5 mm: 9,1 m/s — i to jest praktycznie maksimum
Powyżej 5 mm kropla się rozpada, więc deszcz nie może padać szybciej niż około 9 m/s — jakieś 33 km/h. To dlatego stanie na deszczu jest nieprzyjemne, ale nie niebezpieczne, w odróżnieniu od gradu, który przy 5 cm średnicy osiąga 30 m/s.
Ta sama fizyka tłumaczy, dlaczego pył zawieszony utrzymuje się w powietrzu tygodniami, a piasek opada w sekundy — i dlaczego popiół z wielkich erupcji potrafi krążyć w stratosferze latami.